(12a) le calcul d'un mouvement orbital

Cette section est un peu plus difficile que le reste, et est surtout destinée aux utilisateurs avancés, qui s'intéressent au mode de calcul réel du mouvement orbital . Pour les autres elle est un aperçu de la complexité des calculs orbitaux, ou peut être passée.

Comme il a déjà été indiqué, le mouvement d'un satellite (ou d'une planète) sur son orbite elliptique est défini par 3 " éléments orbitaux":

(1) l' l'axe semi - principal a , moitié de la plus grande longueur de l'ellipse , qui donne la dimension de l'orbite.

(2) l'excentricité e, un nombre de 0 à 1, donne la forme de l'orbite, depuis e = 0 pour un cercle, à de plus grandes valeurs donnant des figures progressivement aplaties, jusqu'à e = 1 où l'ellipse s'étend à l'infini et devient une parabole. Toutes les orbites des grosses planètes sont proches du cercle : e de la terre, par exemple,= 0.0068

(3) l' anomalie moyenne M, un angle croissant régulièrement, augmentant de 360 degrés à chaque orbite

M = M(0) + 360°(t/T)

ou M(0)est la valeur de M au temps t=0 et T la période orbitale. Ces nombres étant connus, M est aisément calculé pour tout temps t.

A la fin du calcul, la position réelle du satellite est donnée par l'anomalie vraie f. En coordonnées polaires (r,f) décrivent le mouvement du satellite dans son plan orbital, f étant l'angle polaire. L'équation de l'orbite est :

r = a(1 - e²)/(1 + e cos f)

L'angle f croît lui aussi de 360 ^o à chaque orbite accomplie, mais pas du tout uniformément. D'après la seconde loi de Kepler " des secteurs ", il augmente rapidement près du périgée (point le plus proche de la terre) mais lentement près de l'apogée (le point le plus éloigné).

L'information requise pour calculer f en fonction de t est contenue dans la loi des secteurs, mais le calcul réel n'est pas facile. Le processus implique un angle auxiliaire, l'anomalie excentrique E qui comme f et M s'accroît de 360 ^oà chaque orbite. Au périgée, chacune des trois anomalies est égale à zéro

Le schéma de droite donne une construction géométrique de ces angles ( non, ne cherchez pas à entrer dans les détails).L'orbite elliptique est circonscrite par un cercle du rayon a, et pour une position donnée P du satellite, un point correspondant Q peut être dessiné sur le cercle, sur la perpendiculaire à l'axe de l'ellipse. E est l'angle entre le grand axe de l'ellipse et la droite tracée du centre du cercle vers Q ( " excentrique " veut dire ici "venant du centre").

Equation de Kepler

Supposons connus les éléments a, e et M(0) au temps t=0 , il faut trouver la valeur de f à un moment différent t. f étant alors connu, l'équation ci-dessus donne r, et (r, f) indiquent ensemble la position exacte du satellite dans son plan orbital. La première étape est de calculer

M = M(0) + 360°(t/T)

Nous supposons que la période T est connue (d'après la 3ème loi , qui sera exposée pour des orbites circulaires dans les sections 20 et 20a). On peut ensuite démontrer que l'angle E satisfait à l' "équation de Kepler""

M = E - (180°/p)e sinE

p = 3.14159256... , rapport du diamètre d'un cercle à sa circonférence. D'ou vient ce nombre, peut- on se demander ? En fait la division du cercle en 360 degrés est sans doute commode à employer (héritage des antiques Babyloniens) mais le numéro 360 n'a pas de place particulière en mathématiques. Il est probablement lié au nombre de jours de l'année. La division habituelle, "normale " ", des angles pour les calculs des autres branches des maths est le radian ou 360 degrés = 2 p = 6.2831... radians (et donc chaque radian égal environ 57.3 degrés).Si les angles sont mesuré en radians, l'équation de Kepler se simplifie à

M = E - e sinE

Quelque soit la forme employée, les mathématiques ne donne aucune formule de E en termes de M. Cependant, on peut approcher la solution avec grande exactitude par " iteration" ,c' est à dire en commençant par une solution approximative, puis en l'améliorant à plusieurs reprises par un procédé approprié ("algorithme" - voir plus au sujet de ce mot, ici). Si l'excentricité e n'est pas trop grande, pour une ellipse, peu différente d'un cercle, M et E ne sont pas non plus très différent, et en première hypothèse

E' = M

ne peut pas être trop erronée. L'application de celle ci dans sinE donne un résultat amélioré E"

E" = M + (180°/p)e sinE'

On peut maintenant recommencer et appliquer E" dans sinE, et obtenir une approche encore plus précise, et ainsi de suite, jusqu'à ce que les dix premiers chiffres décimaux de la valeur de E ne changent plus. On peut alors estimer que E est suffisamment exact et arrêter le processus. L'ordinateur facilite cette démarche ("itération de la solution", une forme d'un algorithme ) et la rend très rapide , mais d'autres méthodes suffisamment, rapides existent même si e n'est pas très petit.

Une fois E obtenu, un certain nombre de formules donnent l'anomalie vraie f .Par exemple, on peut d'abord calculer :

r = a(1 - e cos E)

Et trouver cos f de

r = a(1 - e²)/(1 + e cos f)

sin f est connu à partir de cos f. De nos jours, tout ceci est calculé facilement et automatiquement, mais cela a été une véritable épreuve avant les ordinateurs.

L'orbite dans l'espace

1. 1. L'inclinaison i.
2. 2. L'argument du périgée w( Oméga minuscule grec ).
3. La longitude du nœud ascendant W (Oméga majuscule ).

Orienter l'orbite en 3 dimensions exige un plan et une direction de référence. Pour les orbites de satellites, le plan de référence ( plan horizontal sur le schéma ) est habituellement le plan équatorial de la terre (parfois c'est le plan de l'écliptique). La direction de référence i est, dans les deux cas, la direction du centre de la terre à l'équinoxe vernal (qui appartient aux deux plans ci-dessus ). Nous l'appellerons direction de x, puisque c' est sa place dans les coordonnées (x,y,z) utilisées dans des calculs orbitaux.

Deux plans non - parallèles se coupent toujours suivant une droite, comme le plan d'une porte coupe le plan d'un mur le long de la charnière de la porte. Le plan orbital et le plan équatorial (utilisé comme référence) font de même, et leur intersection s'appelle la ligne des nœuds N. Si le centre de la terre, qui est également le foyer de l'ellipse, est l'origine O de nos coordonnées, il est commun au plan équatorial et au plan orbital, et est donc également sur leur ligne N (dessin) d'intersection. Alors ...

1. 1. L'inclinaison i est l'angle d'ouverture de la "charnière" N. Il est mieux défini en élevant depuis O des perpendiculaires à chaque plan et en mesurant leur angle (dessin ).

2. 2. L'angle W est mesuré dans le plan équatorial entre N et la direction de référence x. On peut imaginer la "charnière" N tournant autour du point O sans que cela change l'inclinaison : le plan orbital couvre alors toutes les valeurs possibles de W.
   Mais que veut dire " nœud ascendant ? La définition ci-dessus contient une certaine ambiguïté : N définit deux lignes en partant de O, dans des directions opposées. À partir de laquelle W doit-il être mesuré ? Pour y répondre, notons que le plan de l'équateur divise l'espace en deux parties, une au nord et l'autre au sud. L'indication "de nœud ascendant" choisit le segment que croisent les satellites quand ils entrent dans le demi- espace du nord, et non celui qu'ils ont croisé en le quittant.

3. 3. Enfin, w est l'angle mesuré dans le plan orbital entre N et la direction de O avec le point P, du périgée. Si le périgée se trouve sur la "charnière", du côté positif de x alors w = 0; la rotation de l'orbite de 90 ^o jusqu'à ce que la ligne OP soit perpendiculaire à N donne w = 90^o, plus de rotation jusqu'à atteindre le côté négatif de la direction w = 180^o.

Supposons connus les éléments orbitaux d'un satellite, par exemple la navette spatiale (vous pouvez les obtenir sur le web). Les trois premiers (a, e, M), avec M donné à un moment précis, vous permettent de calculer où le satellite sera à tout moment sur son orbite . Avec (i, w, W) vous pouvez alors trouver où il serait dans le ciel .

( Pour ceux qui voudraient en savoir plus au sujet de la manière de telles rotations dans l'espace sont calculées, voir problème 8 dans "le rappel de trigonométrie." N'y sont traitées que les rotations dans deux dimensions (par exemple sur une feuille de papier), mais une courte section additionnelle en fin de texte explique comment l'appliquer en 3D. )

 12c.    Méthode de Halley pour le calcul de l'U.A.
 12d.    La distance D entre les trajectoires de Venus
 12e.    Calcul de l'unité astronomique

Prochaine étape: #13 La Chute des Corps