- Dans un ensemble de coordonnées cartésiennes les coordonnées d'un point P sont (x,y) et x = OA, y = PA comme il est montré dans le schéma.
Un deuxième système de même origine O possède des axes (x', y ') issus d'une rotation de (x,y) dans le sens des aiguilles d'une montre d'un angle α . Sur le même schéma, les nouvelles coordonnées de P sont x'= OB y '= PB.
En utilisant les points 'auxiliaires (C, D,E) et les lignes auxiliaires AE et AD, exprimez x' et y' en termes de x, y, sinα and cosα .
Conseil (suivez étape par étape dans le schéma). Les deux triangles CBO et CPA sont rectangles, et puisque la somme des angles d'un triangle vaut 180°, les deux angles aigus dans chacun d'eux valent 90°. Deux de ces angles aigus, qui se réunissent en C, sont égaux, et donc les deux autres le sont aussi.
Les angles AOB valent a, par définition. Par conséquent l'angle RPA égale également a, comme noté sur le schéma. Essayez de résoudre le problème avant de continuer.
Solution
Rappelez-vous : dans un triangle rectangle avec un angle α , si vous multipliez le grand côté
- par cosα , vous obtenez le côté voisin de
α
- par sinα , vous obtenez le côté en face de
α
Il faut donc prêter une particulière attention aux triangles rectangles dont les grands côtés sont x et y, c'est à dire les triangles OAD et PAE. Si c'est possible, nous essayerons d'exprimer x' et y 'en fonction des côtés de ces triangles.
x' = OB = OD – BD = OD – AE = OA cosα – AP sinα = x cosα – y sinα
y' =BP = BE+EP = AD+EP = OA sinα + AP cosα = x sinα + y cosα
Réécrivons le résultat final :
x' = x cosα – y sinα
y' = x sinα + y cosα
Exercice d'algèbre : : en utilisant les deux relations ci-dessus, pouvez-vous exprimer (x,y) en termes de (x', y ') ? Il faut employer sin2α + cos2α = 1.
Montrez également que le résultat reste conforme à la première formule, si nous échangeons les rôles de (x,y) et de (x'y ') et remplaçons l'angle de rotation par (–α ).
Cela doit être également conforme à la figure, puisqu'alors (x,y) sont obtenus en tournant (x', y ') d'un angle α , dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, ce qui peut être considéré comme la rotation dans le sens des aiguilles d'une montre d' un angle (–α ).
Cliquez Ici pour des compléments sur ce résultat, particulièrement pour l'étude de la section #12A "Comment les orbites sont calculées."
- Pour une distance de l'équateur au pôle de 10.000 kilomètres, quelle est la longueur du parallèle à une latitude L, en considérant la terre comme sphérique et quelle est la longueur d'un degré de longitude à cette latitude L ?
Est ce similaire pour une latitude sud ?
- (a) Si cos X = 2 sinX, que vaut sin X
Et l'angle X ?
(b) Est-ce la seule solution ?
?
Conseils :
(a) utilisez cos2X = 4 sin2X
(b) Puisque nous travaillons avec une équation qui ne comprend que des carrés, toute solution qui en émane ne comprends que sin2X et cos2X. Mais il faut qu'au départ cos X et sin X aient le même signe algébrique
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