Un autre calcul, plus court, plus élégant, plus général mais avec des vecteurs et un système de référence pour les rotations - est exposé dans la section (34c). Les deux autres points de Lagrange, L4 et L5, sont situés sur l'orbite de la Terre, formant un angle de 60 ° entre les directions du Soleil et de la terre. Pour ces points, le calcul sur deux corps, (Terre et Soleil), y conclue également à un état stationnaire (c'est-à-dire à l'équilibre dans un système de référence tournant avec la Terre). Mais ici aussi, L4 et L5 étant très éloignés, il faut compter avec l'attraction des autres planètes pour obtenir le calcul réaliste du mouvement d'un vaisseau spatial placé à leurs proximité. Cependant, le système terre - lune présente aussi ses points L4 et L5, qui ont étés considérés comme des sites possibles pour des observatoires et "des colonies spatiales" auto- maintenues. Ils ont l'importante propriété (qui ne sera pas démontrée) d'être stables. Alors qu'au contraire, l'équilibre des points L1 et L2 est instable, comme celui d'une plaque de marbre en équilibre sur une sphère. Si elle est placée exactement au sommet de la sphère, le marbre reste en place, mais la plus légère poussée la fait osciller de plus en plus loin de la position d'équilibre, puis tomber. Au contraire, l'équilibre de L4 ou L5 ressemble à celui d'un marbre rattaché à une cupule arrondie : après une légère poussée, il revient de nouveau à sa position. Ainsi un vaisseau spatial placé en L4 ou L5 n'a pas tendance à divaguer, contrairement à ceux de L1 ou L2 qui nécessitent de petites fusées à bord pour les replacer de temps en temps. Ici nous montrerons que L4 et L5 du système terre lune sont des positions d'équilibre dans les référence qui s' attachent à la rotation de la Lune, en supposant circulaire son orbite. La question des orbites non - circulaires et celle de la stabilité sont au-delà de la portée de cet exposé.
Les outils du Calcul
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On peut le démontrer pour les angles A et B, en menant à partir du troisième angle C une perpendiculaire au côté opposé du triangle. Si h est la longueur de cette ligne. Il vient sinA = h/ b b sinA = h |
Et divisant les deux côtés par ab on obtient le résultat recherché. Cela s'applique aussi avec l'angle C, en répétant le calcul avec une ligne perpendiculaire tracée de A ou B.
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Le calcul cette identité est donné séparément.
Les conditions d'Equilibre |
Au schéma déjà présenté pour montrer le centre de masse du système terre- lune, nous ajoutons un vaisseau spatial au point C, à une distance b de la Terre, a de la Lune et R
du centre de masse D. Comme dans la loi des sinus, nous nommons les angles (A, B, C) et les côtés
(a,b,c) . Les dénominations analogues se font face.
Nous désignons par (α, β) les deux parties l'angle C de chaque côté de R. A vérifier avant de continuer ! |
La question à résoudre est : Dans quelles conditions le satellite, situé en C,reste il stable par rapport à la Terre et la Lune ? Le calcul est plus facile dans le cadre de la rotation de la Lune. Dans ce cadre, si un satellite en C est en équilibre, il restera toujours à la même distance de la Lune ou de la Terre. Le centre de rotation des 3 points est le point D, la Terre elle même tourne autour de lui. Si le vaisseau spatial, en C, reste stabilisé, les trois corps ont la même période orbitale T. Si C est immobile dans ce cadre en rotation, il n'est pas soumis à la force de Coriolis (qui agit seulement sur des objets se déplaçant dans ce cadre ), mais il sera soumis à la force centrifuge, aussi bien celle de la Lune que celle de la Terre.
Mettons en équations-- Equations qui visent à trouver les distances et les angles(1) Noter d'abord que le rayon de rotation R du vaisseau spatial sera Notons V la vitesse de rotation de la Lune, et v celle du vaisseau spatial. Puisque Distance = vitesse x temps
Ces deux expressions égales à 2π/ T sont aussi égales l'une à l'autre, d'où (1) v/R = (V/c)(1 + m/M) Cela exprime simplement le fait bien connu que si deux objets tournent conjointement, le plus éloigné de l'axe est plus rapide . Les vitesses sont proportionnelles aux distances à l'axe.
(2) La force centrifuge sur la Lune est
(2) GM/c = V2 (1 + m/M)
(3) Si m' est la masse du vaisseau spatial, la force centrifuge qui s'y applique est :
Et selon la théorie de Newton de la gravitation :
Si dans la dernière équation, juste au dessus, on remplace par cette équivalence, et si on divise par m' les deux côtés, on obtient une 3ème équation : (3) v2/R = (Gm/a2) cosβ + (GM/b2) cosα
(4) Finalement, les forces s'appliquant au vaisseau spatial perpendiculairement à R doivent s'annuler. Si non, le vaisseau spatial suivrait la plus importante, ne resterait pas en C, et ne serait donc plus en équilibre. Il faut donc que :
(4) (m/a2) sin β = (M/b2) sin α Récapitulons l'ensemble des équations :
3 types de quantités apparaissent ci.
Nous avons précédemment déjà effectué une élimination à propos de deux équations comprenant la période orbitale T, qui équivalait chacune à 2π/T. En rapprochant ces deux expressions égales, nous avons obtenu une expression plus simple, ne contenant plus T (dans un processus d'élimination, on renonce toujours à une équation: on commence avec deux, on termine avec une seule.) Il faut suivre ici la même démarche et éliminer V entre (1) et (2) pour obtenir une équation n'impliquant que v. Puis nous éliminerons v entre ce résultat et (3), pour obtenir une équation ne comportant plus de vitesses, comme (4), qui ne contient plus ni v ni V.
En savoir plus :Sur les rassemblements spatiaux aux points de Lagrange :
Sur L4 et L5 et les astéroïdes bloqués au voisinage de L4 et L5 du système de Jupiter - soleil : "When Trojans and Greeks Collide" by I. Vorobyov, Quantum, September-October 1999, p. 16-19. Cet article contient une autre démonstration de l'équilibre des mouvement en L4 et L5, plus générale (aucune limitation sur les masses), mais utilise un système de référence en rotation et des vecteurs bidimensionnels. Ce calcul peut être trouvé dans la section (34-c) de ce site Web. En option: #34c Un autre calcul pour les points L4 et L5 (voir le paragraphe ci dessus).
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