Plan du Site

(34c) Les points L4 et L5 de Lagrange :
Un autre calcul

Ce calcul sur les points L4 et L5 est inspiré de "When Trojans and Greeks Collide" de I. Vorobyov, "Quantum," p. 16-19, Sept-Oct. 1999. Il est plus court, plus élégant, plus général, mais passe se réfère aux mouvements en rotation et aux vecteurs.
    Note: Comme pour le calcul de la section (34b), il faut la maîtrise de l'algèbre. La trigonométrie n'est pas nécessaire, mais les vecteurs sont largement utilisés. Comme précédemment, si vous en entreprenez l'étude, il vaut mieux le copier et le vérifier constamment

Supposons 3 points de masses (m1, m2, m3) orbitant en attraction mutuelle. Ils forment un triangle ABC dont les côtés (R1, R2, R3)relient les masses avec R1 face à m1, R2 opposé à m2 et R3 à m3 (Figure 1). Nous supposerons que le mouvement s' effectue dans le plan de ce triangle, qui restera plan lui même, puisque seules ces forces y sont présentes.

Est-il possible que les trois masses gardent leurs distances respectives, ce qui conserverait la forme du triangle ? Ce triangle doit pouvoir tourner autour d'un certain point O, avec une période constante T. Voyons si avec ce type de mouvement, toutes les forces peuvent rester en équilibre, ce qui impliquerait que c'est possible.

Soit (r1, r2, r3) les distances des trois masses à O. Les vitesses sont alors :

v1 = 2 πr1/T         v2= 2 π r2/T         v3 = 2π3/T

Références dans un cadre en rotation

Tous les calculs se feront dorénavant par référence avec les masses en rotation Dans ce cadre, le triangle ABC reste fixe et indéformable, mais chaque masse est également soumise à une force centrifuge, en plus des attractions de la gravité. Les forces centrifuges, directement orientées selon les axes (r1, r2, r3) sont :

m1v12/r1 = m1 (2π/T)2r1       m2v22/r2 = m2 (2π/T)2r2       m3v32/r3 = m3 (2π/T)2r3

Ces trois forces, dirigées vers l'extérieur de O, sur (r1, r2, r3), doivent être incluses dans tout calcul de mouvement en référence tournante. Dans ce type de référence, il faut généralement compter avec les forces de Coriolis.Mais, comme ces forces n'agissent que sur des objets qui se déplacent dans le cadre en rotation, et qu'ici les masses sont fixées aux angles (A, B, C), il n'y a pas lieu d'en tenir compte.

Les Vecteurs

Il est maintenant utile de présenter les vecteurs de ce calcul, vecteurs à deux composantes, dans le plan du triangle, marqués en gras. Les vecteurs r1, r2 and r3 sont dirigés vers l'extérieur de O. On a vu que les forces centrifuges valent :
m1(2 π/T)2r1        m2(2 π/T)2r2        m3(2 π/T)2r3

L'attraction gravitationnelle sur la masse m1 de la part de la masse m2 sera notée F12, et sur la masse m2 de la part de la masse m1 par F21. Si, dans cette référence de rotation, les masses sont équilibrées, la somme des forces exercées sur chacune d'entre elles reste égale à zéro :

F12 + F13 + m1 (2 π)2r1 = 0

F21 + F23 + m2 (2 π)2r2 = 0

F32 + F31 + m3 (2 π)2 r3 = 0

En additionnant toutes les équations

F12 + F13 + F21 + F23 + F32 + F31   +   (2π)2 [m1r1 + m2r2 + m3r3] = 0

Avec, selon la 3ème loi de Newton

F12 = -F21.
F13 = -F31.
F23 = -F32.

Et donc, la somme des 6 forces de la gravité étant égale à zéro, il reste :

(2π)2 [m1r1 + m2r2 + m3r3] = 0

ou
[m1r1 + m2r2 + m3r3] = 0

Cela montre qu'il faut que le point O, d'ou sont issus (r1, r2, r3soit le centre de gravité des trois masses. C' est simplement une extension de ce qui a été dit en (section 25) : le centre de gravité reste fixe dans un groupe d'objets où les forces s'exercent l'une sur l'autre (comme ici la pesanteur entre les masses). (La même démonstration est facilement étendue à 4 objets ou plus.)

Relations vectorielles à utiliser

Examinons maintenant les côtés (R2, R3) du triangle en les considérant comme des vecteurs (R2, R3), tous deux dirigés vers m1 (Figure 2). En additionnant bout à bout les vecteurs, on obtient :

r1 = r2 + R3
r1 = r3 + R2
Sans oublier, évidemment,
r1 = r1         

Multiplions les équations, dans cet ordre, par m2, m3 et m1, et additionnons :

r1 (m1 + m2 + m3) = [m2r2 + m3r3 + m1r1] + m3R2 + m2R3

Mais, comme on l'a vu, le terme entre crochet, à droite, est globalement égal à zéro (parce que O est le centre de gravité). Donc, si on note M l'ensemble des masses :

(m1 + m2 + m3) = M

Il reste :

M r1 = m3R2 + m2R3

Nous introduisons deux vecteurs supplémentaires

ρ2 = R2 (m3/M)             ρ3 = R3 (m2/M)

ayant respectivement les directions (R2, R3). L'équation précédente se simplifie en :

r1= ρ2 + ρ3

Maintenant, nous interprétons graphiquement cette équation. Les vecteurs (ρ2, ρ3) ont les mêmes directions que (R2, R3), et peuvent être représentés par les segments AE et AD du schéma 3. Cependant, l'équation

r1 = ρ2 + ρ3

et les propriétés de l'addition des vecteurs suggèrent que si AE représente ρ2, et que nous le combinions à un segment représentant ρ3--sur AD et de même longueur -- alors le point résultant sera le point O. (ou en d'autres termes, si on ajoute un 4ème point à (A, D, E) pour former un parallélogramme, ce point sera en O.)

Et, maintenant, voici " la clé "!

Les trois forces s'exerçant sur la masse m1--soit, F12, F13 et m1(2 πT)2r1 --sont en équilibre. Leur somme vectorielle est donc égale à zéro. Donc, si nous les réunissons bout à bout, ils forment un triangle fermé. .

Les vecteurs étant parallèles à (R2, R3, r1), et donc à ( ρ3, ρ2, r1), le triangle obtenu est semblable à A E O, les longueurs de ses côtés ayant les mêmes proportions que celle des vecteurs.

La longueur d'un côté du triangle est proportionnelle à l'importance du vecteur qu'il représente. Par exemple :

F12/F13 = ρ32

Eliminons les fractions, en multipliant les deux côtés par (F13ρ2) on obtient

F12 ρ2= F13 ρ3

Plus haut, il a été dit que :

ρ2 = R2 (m3/M)
ρ3 = R3 (m2/M)

Par ailleurs, selon les lois de l'attraction universelle de Newton, avec G la "Constante de Gravitation"

F12 = G m1m2/R32
F13 = G m1m3/R22
Insérez ces derniers dans l'équation F12 ρ2 = F13 ρ3 :

[G m1m2m3/M] R2/R32   =   [G m1m2m3/M] R3/R22

Divisons les deux côtés par les termes entre crochets :

R2/R32 = R3/R22
Et, éliminant les fractions en multipliant les deux côtés par R22R32,on obtient finalement

R33 = R23
ce qui implique

R3 = R2

Nous aurions pu faire le même calcul avec la masse m2, concernée par les côtés R1 et R3, ce qui aurait donné R1 = R3. Il suit que les côtés du ABC de triangle doit être égaux entre eux :

R1 = R2 = R3

Si ceci est vrai, il devient évident que l'équilibre est satisfait pour les 3 équations, et connaître G permet de calculer T. Le triangle équilatéral ABC est ainsi la base d'un véritable équilibre.


Prochaine étape: #35 Vers les Planètes, vers les Etoiles

            Chronologie                     Glossaire

              Revenir à la liste principale

      Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org

Traduction française: Guy Batteur guybatteur(arobase )wanadoo.fr

.
Dernière mise à jour : 12.13.2001