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(M-11)  Calcul de   (sinα+β) et cos(α+β )


Connaissant les fonctions (sinα , cosα , sinβ et cos β ), nous cherchons les formules qui expriment sin(α+β ) et cos(α+β ). La première de ces formules est employée dans le calcul des points L4 et L5 de Lagrange, Ici.

Veuillez vérifier le calcul à chaque étape avant l'étape suivante !

Comme il est montré dans le schéma, nous combinons deux triangles rectangles pour calculer la formule.

    ABC qui présente l'angle α
    ACD qui "   "    "  β
Le grand côté ("hypoténuse ') de ACD est AD=R. Par conséquent dans ce triangle :

    DC = R sin β
    AC = R cos β
De même dans l'autre triangle :

    BC = AC sin α = R cos β sin α
    AB = AC cos α = R cos β cos α
Le triangle ADF est rectangle et présente l'angle (α+β ). Par conséquent

    R sin (α+β ) = DF
    R cos (α+β ) = AF

Commençons par calculer le sinus :

    R sin (α+β ) = DF  =  EF + DE  =  BC + DE
  Notez dans le schéma que les deux angles opposés sont identifiés par deux lignes : comme tous ces types d'angles, ils sont égaux. Chacun d'entre eux est l'un des deux angles aigus dans un triangle rectangle qui lui est propre. Puisque la somme des angles aigus dans une tel triangle vaut 90 degrés, les deux autres angles pointus sont aussi égaux. Cela permet de noter α , l'angle proche de D, comme il est dessiné dans la figure.

Dans le triangle rectangle CED

    DE = DC cos α = R sin β cos α
    EC = DC sin α = R sin β sin α
Nous avons vu plus tôt que :
    BC = R cos β sin α
    AB = R cos β cos α
Par conséquent

 R sin (α+β )  =  BC+DE  =  R cos β sin α + R sin β cos α

Eliminons R et réarrangeons l'ordre de α et de β

   sin (α+β )  =  cos β sin α + sin β cos α

De même, pour le cosinus

R cos (α+β ) = AF = AB – FB = AB – EC =

        = R cos β cos α – R sin β sin α

Elimination de R et réarrangement

   cos (α+β )  =  cos α cos β – sin α sin β

Application de ces formules : les points L4 et L5 de Lagrange

#M-11A    Exercices de Trigonométrie

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      Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org

Traduction française: Guy Batteur
guybatteur(arobase)wanadoo.fr


Dernière mise à jour : 25 Novembre 2001