Comme il a déjà éténoté, il y a d'autres façons de repérer les points d'un plan. Par exemple, un point P peut être déterminépar sa distance r à un point central O ("origine") et l'angle f (ou Grec φ) entre la droite OP et une certaine direction standard, "d'origine". Ces "coordonnées polaires" (schéma) sont les plus adaptées pour décrire le mouvement planétaire. L'ellipse en coordonnées polairesOn sait que si toutes les valeurs de (r,f) d'une courbe sont reliées par une certaine équation, qui peut être symboliquement écrite r = r(f) la fonction r(f) est l'équation de la courbe, en coordonnées polaires. La fonction la plus simple est un nombre constant a, donnant la courbe r = a La valeur de r vaut a pour n'importe quelle
valeur de f. Cela donne un cercle autour de l'origine, de
rayon égal à a, (schéma ci-dessus).
Considérez maintenant cette courbe, dont l'équation est r = a(1- e2)/(1+ e cos f) où e est l'excentricité, un nombre entre 0 et 1
Si e = 0, on a évidemment le cercle déjà vu
Mais pour les autres valeurs ?
La fonction cos f présente un comportement ondulatoire
(illustration ci-dessous), et tandis que f parcourt
un cercle complet, elle diminue de +1 à 0, puis à -1, puis augmente à
nouveau à 0 et à +1.Donc, le dénominateur de l'équation monte et descend
comme une vague. Il est minimum quand cos f = -1 . Voici la
table des valeurs principales (360 est entre parenthèses, parce qu'elle
représente la même direction que 0 degrés):
|
f degrees | 0 | 90 | 180 | 270 | (360) |
cos f | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
1 + e cos f | 1 + e | 1 | 1 - e | 1 | 1 + e |
Même si e est plus petit que 1, le dénominateur de la fonction
reste toujours positif. Il n'est jamais égal à 0 , si bien que pour
n'importe quelle valeur de f, il y a toujours un r
correspondant. En d'autres termes, la courbe reste toujours à distance de
son origine, elle est fermée.
L'expression (1 - e2) peut être mise en facteurs, c'est-à-dire écrite comme deux expressions multipliées l'une par l'autre ("le produit de deux expressions"). Comme expliquédans la section sur les identités algébriques . 1 - e2 = (1 - e)(1 + e) A certains points sur la table ci-dessus, soit (1-e), soit (1+e), élimine le dénominateur et en simplifiant l'équation entière, on obtient: |
f degrees | 0 | 90 | 180 | 270 | (360) |
r | a(1 - e) | a(1 - e2) | a(1 + e) | a(1 - e2) | a(1 - e) |
Ainsi, la distance des points de la courbe à l'origine oscille entre a(1-e) et a(1+e), et le résultat est un cercle aplati ( une ellipse) dont le point O (l'origine) est un foyer. Toutes les orbites planétaires ressemblent à des ellipses ayant chacune sa propre excentricitée. Plus e est petit, plus la forme est proche du cercle. L'orbite de la terre est très proche du cercle, avec e = 0.0068, et les autres principales planètes (exceptéPluton) ont des excentricités comparables : sur un schéma respectant les dimensions de ces orbites, l'oeil ne peut pas faire la différence avec un cercle. Pour l'orbite de la comète Halley, e est d'autre part tout à fait proche de 1. |
|
Comme mentionnédans la section précédente, un deuxième foyer O' peut être dessinésymétriquement à O, et l'ellipse peut être définie (en réalité, c'est sa définition originale,) comme la collection de points pour lesquels la somme R1+R2 de leurs distances à O et O' est la même : La plus longue dimension de l'ellipse, la distance A B , suivant la droite reliant les deux foyers, est son "Grand Axe." Si (R1,R2) sont sur cet axe, ils représentent les distances des foyers O et O' à A, alors R1 = OA = a(1+e), la plus petite distance de l'ellipse et R2 = O'A = OB (par symétrie) est la plus grande distance et égale donc a(1+e). Mais, OA + OB = AB, par conséquent : |
|
Prochaine étape: #12 Seconde Loi de Kepler
Auteur et responsable : Dr. David P.
Stern
Mail au Dr .Stern: stargaze("at" symbol)phy6.org
Traduction
française: Guy Batteur guybatteur(arobase)wanadoo.fr
Dernière mise à jour : 12.23.2003