(11)   Graphiques et Ellipses

Les lois du mouvement orbital sont mathématiques, et on ne peut pas les apprendre sans quelques mathématiques. Les maths utilisées ici sont plutôt élémentaires; (si vous avez besoin d'un rappel, cliquez ici.)

Autrement, vous pouvez sauter juste les équations et suivre le récit.

Description mathématique d'une courbe

Comme déjà dit, le système cartésien repère n'importe quel point d'un plan (par exemple une feuille de papier plate) par sa distance, évaluée par un couple de deux nombres (x,y), à deux axes perpendiculaires. Ces nombres sont connus comme "coordonnées" du point.

Dans un plan, une ligne, droite ou courbe, est constituée de beaucoup de points, chacun ayant ses propres coordonnées (x,y). Souvent, il existe une formule ("équation") qui relie x à y : par exemple, les lignes droites ont une expression:

y = ax + b

dans laquelle toutes les paires de nombres (a , b), positif, négatif ou zéro, composent une certaine ligne droite. La représentation sur un plan de droites obtenues par ce genre d'expression, (venant de n'importe quelle source, même d'observation pure, par exemple la température suivant le temps) est dénommée "graphique".
Des expressions plus compliquées donnent des graphiques qui sont des courbes: par exemple

y = a x²

donne une parabole, pour toute valeur de a . Habituellement (cependant pas toujours) on isole y, de sorte que la formule prend la forme

y = f(x)

ou f(x) signifie "n'importe quelle expression impliquant x", ce qui se dit en termes mathématiques, "fonction de x." Les courbes dessinées ici en exemple sont,

pour la ligne droite y = - (2/3)x + 2,
et pour la parabole y = x².

Droite:

L'équation du cercle

Une telle forme permet de trouver très facilement les points du graphique puisqu'il n'y a qu'à choisir x et calculer f(x) (= une certaine expression donnée impliquant x)pour obtenir la valeur correspondante de y.

N'importe quelle équation impliquant x et y peut être utilisée comme une application à un point du graphique. La principale difficulté est qu'avec des équations plus compliquées, quand x est choisi, trouver y, qui lui correspond, exige un supplément de travail, (et parfois il est plus facile de choisir y et de trouver x).

Le graphique le plus connu de ce genre est sans doute le cercle, de rayon R, dont l'équation

Tracez un cercle de rayon R ,centré en O sur un système d'axes (x,y). De n'importe quel point P de ce cercle, tracé selon les valeurs indiquées de (x,y), menez une perpendiculaire à l'axe des abscisses: elle tombe au point A

Que l'on peut également écrire:

L'équation du cercle est satisfaite pour n'importe lequel de ses points. Par exemple, si le graphique est défini par l'équation:

cette équation est satisfaite par tous les points énumérés ci-dessous:

L'équation d'une ellipse

L'équation d'une ellipse en est une petite modification :

ou a et b sont deux nombres donnés. Par exemple, avec (8.4), à quoi le graphique ressemble- il ?

Près de l'axe de x, y est très petit et l'équation devient proche de

et donc:

A cet endroit, le graphique ressemble donc à une partie de cercle du rayon a, dont l'équation serait

Exactement de la même manière on peut prouver que près de l'axe des ordonnées, où x est petit, y = ±b et la forme ressemble à cet endroit à un cercle du rayon b.

Exemple:

Nous savons tout de suite qu'elle coupe les axes àx=±8 et ày=±4.

Maintenant, ajoutons quelques points:

Enlevons 1/4 de chaque côté:

En prenant les racines carrées (ici la lettre √) et en ne calculant qu'avec 3/4: (

Finalement:   x = 6.93 , avec une précision raisonnable.

(2)    Prenons y = 3 .

Alors, l'équation devient (x²/64)  +  (9/16)  =   1

Soustrayons 9/16 des deux côté

(x²/64)  =7/16

Prenons la racine carrée ( avec 3 à 4 décimales ):

x/8 = √(7) / √(16) = 2.6457/4 = 0.6674

ce qui donne approximativement,

  x = 5.29

x et y peuvent être positifs ou négatifs. Nous avons donc obtenu 12 points, suffisamment pour dessiner un graphique simplifié: