(8d) Distance de la lune -- 2

  Cette éclipse était totale en Hellespont ( Dardanelles, un détroit étroit entre les régions européennes et asiatiques de la Turquie) mais seuls les 4/5 du soleil étaient cachés à Alexandrie, en Egypte, plus au sud.

  Hipparque savait que lors d'une éclipse de soleil, celui ci est au même point de la sphère céleste que la lune. Il supposait que la lune se situait entre nous et le soleil.

  Il pensait que le soleil était beaucoup plus éloigné que la lune, selon les conclusions d'Aristarque de Samos, environ un siècle plus tôt, qui avait observé le moment où la lune était exactement à son demi quartier (voir les sections #8c et #9a). Il supposait également que le maximum de l'éclipse se produit en même temps aux deux lieux d' observation (ce n'est pas tout à fait vrai, mais heureusement pas trop loin de la vérité), et a alors effectué le calcul suivant :

  Vu d'Alexandrie (point A), au même moment, le point E ne cache que le point C du soleil, à une distance de son bord environ égale au 1/5 de son diamètre, et c' est pourquoi l'éclipse n'est pas ici totale. Un cinquième du diamètre du soleil correspond dans le ciel à 0.1°, et donc le (petit) angle α ( alpha, le Grec "a") entre ces deux directions mesure environ 0.1 degré. Cet angle est la parallaxe du bord de la lune, par rapport aux deux lieux envisagés.

    Hipparque ne connaissait sans doute pas la distance AB, mais probablement les latitudes de l' Hellespont et d 'Alexandrie. La latitude est égale à la hauteur locale du pôle céleste et aujourd'hui peut être aisément déduite par l'observation de la hauteur de la polaire au-dessus de l'horizon. A l'époque d'Hipparque le pôle n'était pas proche de l'étoile polaire (en raison de la précession des équinoxes). Hipparque, qui avait tracé les positions d'environ 850 étoiles, devait parfaitement connaître sa position.

    La latitude de l'Hellespont (sur un atlas moderne) est de 40° 20' (40 degrés et 20 minutes),( 60 minutes dans un degré), alors que celle d'Alexandrie est de 31° 20', une différence de 9°. Nous supposerons également qu'Alexandrie est exactement directement au sud. Si r est le rayon de la terre, la circonférence de la terre est 2πR,, où π = 3.1415926... ( π "pi", la lettre minuscule grecque "p", rapport de la circonférence au diamètre pour n'importe quel cercle). Puisque qu'une circonférence égale 360°, cela donne :

    (le point marque la multiplication, équivalent du symbole x en algèbre.)

La distance R de la lune

    Chacun des deux arcs AB ,exprimés par les équations ci-dessus, est mesuré à l' aide de cercles différents, donc de rayons différents (et opposés par leur courbures), mais dans les deux cas AB ne couvre qu'une petite partie de cercle, de sorte que l'on peut assimiler chacun de leurs arcs à la distance en ligne droite AB. On peut donc poser l'égalité :

Après multiplication par 360 et division par 2 π

Division par (0.1 r)

R/r   =   90

Le résultat de la distance de la lune est de 90 rayons de la terre, une surestimation d'environ 50%.

Un calcul plus précis

    Une des raisons de l' excès de la valeur obtenue est que l'on a estimé la lune dans la même direction en A et en B. En fait, il y a à un certain angle, significatif, avec la direction du "zénith" (voyez le dessin).

  Lorsque l'angle α , du cercle de rayon R coupe la terre, il faut considérer non pas AB mais AF ( second dessin), intervalle plus petit. Cette prise en compte réduit considérablement la distance.

  Nous ne savons pas où était le soleil pendant l'éclipse de 129 BC., mais il était sur l'écliptique (comme le nom l'indique), quelque part en deçà de 23.5° de l'équateur céleste, d'un côté ou de l'autre. En Admettant qu'il était sur l'équateur (c'est-à-dire, placé au-dessus de l'équateur de la terre) et au sud (c.-à-d. que l'éclipse se serait produite vers midi) on peut faire une grossière évaluation de cette correction, en utilisant la trigonométrie simple (voir la section M-8).

  L'Hellespont est à une latitude d'environ 40 degrés, ce qui est également, comme le schéma le montre, l'angle entre la direction de la lune et le zénith.

D'après ce schéma

AF = AB cos 40° = 0.766 AB

Modification de AB, du calcul précédent, en considérant AF

AF = (2πR/ 360)·0.1

AF = 0.766 AB = 0.766·(2πr/ 360)·9

et finalement

R/r   =   90·0.766 = 69

Remarques, en conclusion

  Selon "une histoire de l'astronomie" de A. Pannekoek, le résultat obtenu par Hipparche était de 62 à 73 rayons de la terre. Aujourd'hui nous savons que la distance moyenne est environ 60 rayons, variant de quelques rayons de terre en fonction de l' éllipticité de l'orbite de la lune.

  En l'absence de repères précis, la méthode aboutit presque surement à une surestimation. La terre tourne pendant qu'elle reçoit l'ombre de la lune, ce qui fait qu'il existe une longue bande, concernant de nombreux endroits différents ,à des heures différentes. L'Hellespont n'était qu'un des endroits où l'éclipse était totale. De même, Alexandrie n'était qu'un des endroits où les 4/5 du soleil ont été couverts. Selon l' emplacement de B et de A, la ligne de base AB peut être beaucoup plus longue et donc la distance de la lune estimée incorrectement. Le fait qu'Alexandrie soit presque exactement au Sud de l'Hellespont ne garantit pas que les horaires de maximum d'éclipse soient identiques, juste qu'ils ne sont pas trop différents

L'histoire se répète-t-elle

    Comme on peut voir, le chemin de totalité a croisé la Mer Noire autour 11:15 AM ( en T.U. ) (temps local 1:15 P.M.) à environ 300 kilomètres au nord-est de l'Hellespont. A Alexandrie 71% du diamètre du soleil ont été couverts (plutôt que 80% ,comme dans l'éclipse de Hipparque) autour de 11:35 heure du matin.

    Cela vous prendra un peu de travail (une manière plus rapide est indiquée à la fin) mais vous pouvez, si vous souhaitez, reproduire le calcul d'Hipparche pour cette éclipse (si possible, avec une calculatrice)

1. Avec une règle, mesurez la distance entre les deux lignes. Cette distance égale 10 degrés de latitude.
   
   
2. Marquez sur votre carte un point sur le rivage méridional de la Mer Noire où la ligne de la totalité est passée. Du temps d'Hipparque, la ville de Heraclea éxistait, et Hipparque aurait pu l'utiliser au lieu de l'Hellespont, si son éclipse avait été comme celle de 1999.
   
   
3. Mesurez avec la règle la distance d'Alexandrie au point que vous avez marqué sur la ligne de la totalité. Utilisez le résultat pour calculer la distance correspondante en degrés de latitude.
   
   
4. L'éclipse s'est produite 11 août, environ à mi-chemin entre le milieu de l'été et l'équinoxe de d'automne . A midi ,le jour du milieu de l'été, le 21juin, le soleil est au nord à 23.5° de l'équateur; à l'équinoxe d'automne, le 21septembre, il est exactement sur l'équateur céleste.
   
   Le 11Août, il était environ à mi-chemin entre ces extrémités, à 12° au nord de l'équateur. L'emplacement choisi de totalité est autour de la latitude 42°, ainsi l'angle entre le zénith et la direction du soleil, y est à midi, d'environ (42-12) = 30°. Pour le cosinus de cet angle, voyez ici.
   
   
5. Etant donné que 71% du soleil a été couvert à Alexandrie, et en supposant que le bord de la lune a lui aussi atteint 0.71 du diamètre du soleil, vous pouvez maintenant effectuer le calcul d'Hipparque pour l'éclipse 1999

    A partir des deux emplacements, les lignes de visée vers le bord occulté de la lune, au maximum de l'éclipse, font donc un angle égal à 19% du diamètre apparent du soleil, assez proche des 20% que Hipparque a obtenu !

    Comme le montre la figure, le trajet de la totalité du 11 août 1999 est passé au-dessus de Bucarest, la capitale de la Roumanie. Le gouvernement roumain a commémoré l'événement en dessinant une carte de la bande de la totalité sur la Roumanie (dans la continuité du dessin ci dessus ) sur sa note de la devise 2000-Lei. Cliquez ici pour voir une copie de cette note (prises 132K de mémoire). D'autres détails au sujet de cette éclipse sont disponibles à

         http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/TSE1999/TSE1999.html.
et à
           http://umbra.nascom.nasa.gov/eclipse/990811/rp.html.

et à une bande dessinée : modélisation de l'éclipse de 2.26.98, de "Ciel et Télescope,", donne beaucoup de détails applicables aux éclipses solaires en général