Le rapport des vitesses entre le périgée et l'Apogée(Note: Vous trouverez également ce calcul à la section #21c)La seconde loi de Kepler indique que la vitesse V d'un objet qui orbite autour d'un centre unique varie le long de son trajet :
Nous avons vu dans la section #12 que cela signifie que la vitesse V de l'objet augmente quand sa distance r diminue, et vice versa. Pour deux points de l'orbite, les directions de r et V sont perpendiculaires l'une à l'autre : au point P, celui de la plus petite distance, ("périhélie" pour une planète, "périgée" pour un satellite de la terre), et au point A, celui de la plus grande distance ("aphélie" ou "apogée"). Appelons les r1 et V1 pour P, et r2 et V2 pour A. Imaginons un satellite de la terre situé au périgée . En une seconde il avance d'une distance V1 mètres (on peut employer n'importe quelle unité). Ce trajet n'est qu'une toute petite partie de l'orbite et il n'y a pas d'erreur importante si on le remplace par une ligne droite pour calculer la surface parcourue par le rayonr1. La surface parcourue est alors un long triangle effilé avec un angle droit, une hauteur r1 et une base V1 (beaucoup plus étroite que dans le dessin, qui n'est qu'une indication. ) |
La surface A1 de ce triangle est égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, en vertu de la formule sur les surfaces. De même, la surface A2 , parcourue en une seconde après le passage à l'apogée A, est égale à A2 = (1/2) V2r2 Et comme, en raison de la seconde loi de Kepler : A1 = A2 on peut rapprocher :
Puis multiplier par 2 les deux termes : Une formes plus pratique de cette équation est obtenue en divisant les deux côtés par V2r1 : Le rapport des vitesses est égal à l'inverse de celui des distances. Plus petite est la distance, plus rapide est le mouvement. Si la distance du périgée vaut la moitié de celle de l'apogée, la vitesse y est le double. (Mais il faut se rappeler que ce n'est valable que pour P et A, et non pour les autres points de l'orbite ) Pourquoi une durée inégale des saisons ?Les points principaux divisant l'année sont les deux solstices--celui du jour le plus long, pour l'été, et de la nuit la plus longue pour l'hiver et les deux équinoxes, où nuit et jour sont égaux. Ces points marquent les commencements de l'été, de l'hiver, du printemps et de l'automne et on pense généralement qu'ils sont séparés par une durée égale.Mais le sont-ils vraiment ? L'équinoxe de printemps de 2003 a eu lieu le 21 mars, et celle d'automne le 22 septembre, 184 jours plus tard. En 2004, une année "raccourcie", l'équinoxe du printemps survient le 20, et si vous compter les jours vous verrait que l'automne n'arrive que 181 plus tard. Les deux intervalles ne sont pas égaux . Et pourquoi ? Les positions des équinoxes se situent de part et d'autre de l'orbite, à 180 degrés l'un de l'autre, et pourtant l'hiver (de l'hémisphère nord ) dure 3 jours de moins que l'été. En raison de la seconde loi de Kepler, la terre se meut un peu plus rapidement en hiver. Comme il a été indiqué à la fin de la section "Les saisons pendant l'année" et aussi à propos de la théorie La Théorie de Milankovich sur les âges glaciaires, la terre est au plus près du soleil - au périhélie -- vers le 4 janvier. Nous avons calculé ici qu'alors son mouvement est plus rapide. De plus (voir le dessin), la moitié de l'ellipse la plus proche du soleil est aussi la plus courte. Pour la terre, la différence est petite, puisque l'orbite est très proche du cercle. Mais elle existe, incontestablement, et cela fait cette différence de trois jours. |
Eléments additionnels: #12b Comment calculer les orbites
Comme il a déjà éténoté, il y a d'autres façons de repérer les points d'un plan. Par exemple, un point P peut être déterminépar sa distance r à un point central O ("origine") et l'angle f (ou Grec f) entre la droite OP et une certaine direction standard, "d'origine". Ces "coordonnées polaires" (schéma) sont les plus adaptées pour décrire le mouvement planétaire. L'ellipse en coordonnées polairesOn sait que si toutes les valeurs de (r,f) d'une courbe sont reliées par une certaine équation, qui peut être symboliquement écrite r = r(f) la fonction r(f) est l'équation de la courbe, en coordonnées polaires. La fonction la plus simple est un nombre constant a, donnant la courbe r = a La valeur de r vaut a pour n'importe quelle
valeur de f. Cela donne un cercle autour de l'origine, de
rayon égal à a, (schéma ci-dessus).
Considérez maintenant cette courbe, dont l'équation est r = a(1- e2)/(1+ e cos f) où e est l'excentricité, un nombre entre 0 et 1
Si e = 0, on a évidemment le cercle déjà vu
Mais pour les autres valeurs ?
La fonction cos f présente un comportement ondulatoire
(illustration ci-dessous), et tandis que f parcourt
un cercle complet, elle diminue de +1 à 0, puis à -1, puis augmente à
nouveau à 0 et à +1.Donc, le dénominateur de l'équation monte et descend
comme une vague. Il est minimum quand cos f = -1 . Voici la
table des valeurs principales (360 est entre parenthèses, parce qu'elle
représente la même direction que 0 degrés):
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f degrees | 0 | 90 | 180 | 270 | (360) |
cos f | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
1 + e cos f | 1 + e | 1 | 1 - e | 1 | 1 + e |
Même si e est plus petit que 1, le dénominateur de la fonction
reste toujours positif. Il n'est jamais égal à 0 , si bien que pour
n'importe quelle valeur de f, il y a toujours un r
correspondant. En d'autres termes, la courbe reste toujours à distance de
son origine, elle est fermée.
L'expression (1 - e2) peut être mise en facteurs, c'est-à-dire écrite comme deux expressions multipliées l'une par l'autre ("le produit de deux expressions"). Comme expliquédans la section sur les identités algébriques . 1 - e2 = (1 - e)(1 + e) A certains points sur la table ci-dessus, soit (1-e), soit (1+e), élimine le dénominateur et en simplifiant l'équation entière, on obtient: |
f degrees | 0 | 90 | 180 | 270 | (360) |
r | a(1 - e) | a(1 - e2) | a(1 + e) | a(1 - e2) | a(1 - e) |
Ainsi, la distance des points de la courbe à l'origine oscille entre a(1-e) et a(1+e), et le résultat est un cercle aplati ( une ellipse) dont le point O (l'origine) est un foyer. Toutes les orbites planétaires ressemblent à des ellipses ayant chacune sa propre excentricitée. Plus e est petit, plus la forme est proche du cercle. L'orbite de la terre est très proche du cercle, avec e = 0.0068, et les autres principales planètes (exceptéPluton) ont des excentricités comparables : sur un schéma respectant les dimensions de ces orbites, l'oeil ne peut pas faire la différence avec un cercle. Pour l'orbite de la comète Halley, e est d'autre part tout à fait proche de 1. |
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Comme mentionnédans la section précédente, un deuxième foyer O' peut être dessinésymétriquement à O, et l'ellipse peut être définie (en réalité, c'est sa définition originale,) comme la collection de points pour lesquels la somme R1+R2 de leurs distances à O et O' est la même : La plus longue dimension de l'ellipse, la distance A B , suivant la droite reliant les deux foyers, est son "Grand Axe." Si (R1,R2) sont sur cet axe, ils représentent les distances des foyers O et O' à A, alors R1 = OA = a(1+e), la plus petite distance de l'ellipse et R2 = O'A = OB (par symétrie) est la plus grande distance et égale donc a(1+e). Mais, OA + OB = AB, par conséquent : |
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Prochaine étape: #13. Comment chutent les Corps
Etape facultative (1à 3): (12a) le calcul d'un mouvement orbital
Auteur et responsable : Dr. David P.
Stern
Mail au Dr.Stern: stargaze("at" symbol)phy6.org
Traduction
française: Guy Batteur guybatteur(arobase)wanadoo.fr
Dernière mise à jour : 12.23.2003