Глава 3. Результаты

На рисунках 8-19,21 приведены графики зависимости корреляционной размерности D₂ и корреляционной энтропии K₂ от величины . Здесь - нормированное расстояние (r_max - максимальное расстояние между точками на аттракторе). На каждом рисунке - несколько графиков, соответствующих различным размерностям вложения n (различным размерностям фазового пространства). Оптимальная временная задержка для восстановления аттрактора выбиралась по автокорреляционной функции временного ряда с предварительной фильтрацией низкочастотных составляющих.

1. Анализ модельных данных

1.1 Периодический и квазипериодический сигнал

Для периодического сигнала (генератор Ван дер Поля) (рис.8) получена корреляционная размерность D₂=1, для квазипериодического сигнала или суммы двух сигналов с несоизмеримыми частотами (генератор Ван дер Поля с периодическим возмущением) (рис.9) D₂2. Корреляционная энтропия K₂ в обоих случаях стремится к нулю с ростом размерности вложения n.

1.2 Странные аттракторы

На рис.10 показаны результаты расчета для дискретного квадратичного отображения Хенона. Временная задержка выбиралась равной 1, т.к. при этом уже в двумерном фазовом пространстве точно восстанавливается аттрактор Хенона. Вычисленная корреляционная размерность аттрактора примерно равна 1.25, корреляционная энтропия K₂0.48. По временному ряду данных методом Вольфа найден наибольший показатель Ляпунова =0.418. По методу Бенеттина, используя знание матрицы Якоби отображения, найдены все показатели Ляпунова аттрактора Хенона: =0.417, =-1.622. По формуле Каплана-Йорка ляпуновская размерность D_L=1+0.417/1.6221.257.

На рис.11 показаны результаты расчета для аттрактора Ресслера. Временная задержка здесь равна 2. Найденная корреляционная размерность примерно равна 1.95, корреляционная энтропия K₂0.175.

Далее рассматривался аттрактор Лоренца. На рис.12 показаны результаты расчета с временной задержкой =8. Вычисленная корреляционная размерность аттрактора равна 2.06, корреляционная энтропия K₂0.5.

1.3 Белый гауссов шум

На рис.13 показаны результаты расчета для белого гауссова шума. Его корреляционная размерность D₂ постоянно растет с ростом размерности вложения n. Теоретически D₂(n)=n, однако, на практике D₂(n)<n из-за увеличения количества данных, необходимых для вычисления высоких размерностей. Но отставание почти линейно и, следовательно, может быть удалено. Корреляционная энтропия K₂ не бесконечна из-за ограниченного количества данных, но имеет относительно большое положительное значение.

1.4 Влияние аддитивного шума

С помощью генератора псевдослучайных чисел получена реализация белого гауссова шума G с нулевым средним и единичной дисперсией и аддитивно добавлена к исходному сигналу S для получения зашумленного сигнала X. Величина помехи l (%) входит в выражение , где . Результаты анализа для аттрактора Лоренца с помехой показаны на рис.14, 15, 16, 17. Наличие шума привело к сужению скейлингового интервала расстояний за счет области малых расстояний. Аддитивная помеха была добавлена также к аттрактору Хенона для проверки устойчивости алгоритма Вольфа нахождения наибольшего показателя Ляпунова. Результаты представлены в таблице 2.

Наибольший показатель Ляпунова аттрактора Хенона.

Параметр алгоритма	Уровень шума, l %
	0	1	2	3	4	5
0.02	0.417	0.455	0.571	0.830	1.026	1.225
0.04	0.418	0.443	0.491	0.571	0.661	0.788
0.08	0.417	0.438	0.463	0.505	0.543	0.585
0.16	0.414	0.432	0.455	0.485	0.508	0.527

2. Анализ электрофизиологических данных

2.1 Электрическая активность пищеварительной системы человека

На рис.18, 19 показаны результаты анализа записей электрической активности пищеварительной системы человека (ЭГГ). Рис.18 соответствует записи до приема пищи, а рис.19 - после приема пищи. Наблюдается устойчивое различие этих двух случаев, которое выражается в некотором увеличении корреляционной размерности аттрактора системы после приема пищи. При этом скейлинговый диапазон смещается в сторону больших расстояний. Кроме того, увеличивается размерность фазового пространства системы. Все это свидетельствует об усложнении поведения пищеварительной системы после приема пищи. На рисунке 20 - типичная запись ЭГГ.

2.2 Нейронная активность земного моллюска вида Limax maximus

Известно [19, 24], что в отсутствие запаха нейронная активность представляет собой периодическое возбуждение и торможение поведения с частотой 0.7 Гц. В [24] показано, что введение запаха приводит к уменьшению, либо к увеличению частоты колебаний. Помимо этого происходят также структурные перестройки, например, синхронизация осцилляций. Но все это не меняет общей периодической картины колебаний. Проведенные расчеты показали, что наряду с периодической составляющей присутствуют и другие компоненты, имеющие квазипериодический и хаотический характер. Классический Фурье-анализ дает две основные частоты: 0.15 и 0.65 Гц. На рис.21 представлены основные результаты обработки. В расчетах получено довольно устойчивое значение размерности аттрактора системы, что вполне согласуется с предварительными выводами о квазипериодическом характере сигнала с двумя несоизмеримыми частотами. Типичная запись нейронной активности - на рисунке 22.