1. Стохастические характеристики аттракторов

1.1 Размерность

Для характеристики аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Обсуждаемые в литературе определения размерности в общем разделяются на два типа: зависящие только от метрических свойств аттрактора и, помимо метрики, зависящие от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. В типичных случаях метрические размерности принимают одинаковую величину, которую принято называть фрактальной размерностью аттрактора. Введем определение фрактальной размерности D_F произвольного аттрактора в n-мерном фазовом пространстве по Колмогорову-Хаусдорфу [5, 29]:

(1.1)

где ( минимальное число n-мерных кубиков с ребром - , необходимых для покрытия аттрактора. Применив это определение для вычисления размерности точки, линии и поверхности, легко убедиться в привычных значениях 0, 1 и 2 соответственно. Для нетривиальных множеств размерность D_F может оказаться дробной.

Рассмотрим, например, канторово множество. Оно строится последовательным исключением интервалов длиной 1/3 из середины единичного отрезка. Выбросив первый раз среднюю треть, оставляем два отрезка длиной 1/3 каждый. Затем, выбросив средние трети из оставшихся двух отрезков, получим четыре отрезка длиной по 1/9. Канторово множество будет построено, если процесс исключения интервалов продолжить до бесконечности [12]. На k-м шаге процедуры останется отдельных отрезков одинаковой длины . По определению найдем фрактальную размерность канторова множества: .

Рисунок 1.
Построение канторова множества.

В последнее время системы подобного рода активно изучаются в различных естественнонаучных дисциплинах (фликкер-шум, аномальный избыточный шум и т.п. [4]).

Установлено, что фрактальная размерность странных аттракторов дробная. Заметим, что в формуле для вычисления фрактальной размерности одинаково важны все непустые кубики. Это представляет серьезный недостаток для странных аттракторов, так как они пространственно неоднородны, то есть некоторые области аттрактора посещаются чаще других. Требуется знание очень длинной траектории, чтобы гарантировать посещение даже очень маловероятных кубиков. Поэтому каждый непустой кубик нужно взвешивать с помощью относительной частоты, с которой он посещается типичной траекторией. Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют вероятностными.

Информационная размерность определяется следующим образом [22, 42]:

(1.2)

Здесь - количество информации, необходимое для определения состояния системы в пределах точности , - число кубиков со стороной , покрывающих аттрактор, p_i - вероятность посещения фазовой траекторией i-го кубика. Так как для малых , то D_I характеризует скорость возрастания информации с уменьшением . Если аттрактор пространственно однородный, то D_I = D_F , в противном случае D_I < D_F .

Еще одним представителем класса вероятностных размерностей является корреляционная размерность D_C , определяемая соотношением [26, 28]:

(1.3)

где p_i² - вероятность того, что пара точек аттрактора принадлежит i-му кубику. Корреляционную размерность можно представить в виде:

(1.4)

(1.5)

где x_i - точки в фазовом пространстве; - расстояние.

Таким образом, размерность D_C определяется значением корреляционного интеграла , характеризующим относительное число пар точек x_i,x_j, удаленных на расстояния .

Отметим, что все три размерности, рассмотренные выше, представляют собой частные случаи обобщенной размерности Реньи [25, 31, 35]:

(1.6)

здесь I_q - информация Реньи порядка q.

.

,так как с использованием правила Лопиталя:

.

.

Размерность D_q - монотонно убывающая функция, т.е. для любых q < q' выполняется неравенство . Равенство достигается только в случае пространственно однородных аттракторов. Для целых q размерность D_q имеет физический смысл. Большие положительные значения q подчеркивают наиболее плотные области в фазовом пространстве, тогда как большие отрицательные значения подчеркивают наиболее редко посещаемые области. Таким образом, диапазон значений размерностей D_q может рассматриваться как характеристика степени пространственной неоднородности аттракторов.

1.2 Энтропия

Произведем разбиение фазового пространства, включающего в себя аттрактор, на непересекающихся n-мерных кубиков с ребром . Проделаем m последовательных измерений, следя за фазовой траекторией и через равные промежутки времени отмечая кубики s_i, в которых побывала траектория. При каждом независимом испытании получим конкретную реализацию в виде последовательности кубиков s_i,...,s_m. Пусть нам известны вероятности P( s_i,...,s_m ) появления всех возможных последовательностей кубиков. Тогда энтропия Колмогорова определяется следующим образом [4, 5, 11]:

(1.7)

Характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы, обратно пропорционально энтропии Колмогорова. Если энтропия достигает нуля, то система становится полностью предсказуемой. Так будет в случае регулярных процессов. Для истинно случайных процессов энтропия неограниченно велика. Энтропия системы в режиме странного аттрактора положительна, но имеет конечное значение. Числовое значение энтропии является количественной характеристикой степени хаотичности системы.

Можно ввести понятие обобщенной энтропии Реньи как динамического аналога обобщенной размерности Реньи [27]:

(1.8)

В частных случаях, при q=0 получаем определение топологической энтропии K₀, при q=1 - энтропии Колмогорова K₁, при q=2 - корреляционной энтропии K₂.

1.3 Спектр характеристических показателей Ляпунова

Пусть дифференцируема, A - аттрактор отображения x_k+1 = F(x_k). Обозначим F^k суперпозицию F с собой k раз; DF^k(x) - матрица Якоби, т.е. матрица n*n частных производных F^k, вычисленных в точке x. Пусть a_i(k,x) - модуль i-го собственного значения DF^k(x), причем . Характеристические показатели Ляпунова аттрактора определяются соотношениями [6, 9]:

(1.9)

При подходящих предположениях этот предел существует и одинаков для типичных точек x на аттракторе A. Подобное определение может быть дано и для аттрактора автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений . При этом индекс k заменяется временем t. Упорядоченная по убыванию последовательность чисел образует спектр показателей Ляпунова и дает полезную классификацию аттракторов. В таблице 1 приведена классификация аттракторов динамических систем, заданных системой дифференциальных уравнений.

Сумма показателей Ляпунова траектории x⁰(t) характеризует скорость изменения фазового объема в ее окрестности. Режим странного аттрактора реализуется только в диссипативных системах и характеризуется наличием в спектре положительных показателей. Сумма показателей Ляпунова для диссипативных систем отрицательна. Если сумма показателей Ляпунова равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется - система консервативна и аттракторов не содержит. В случае положительной суммы показателей Ляпунова фазовый объем во времени нарастает. С физической точки зрения такой режим как стационарный не реален.

Показатели Ляпунова, являясь усредненными характеристиками аттрактора, описывают его свойства независимо от начальных условий из области притяжения. Исключение представляют лишь начальные условия, соответствующие нетипичным траекториям, имеющим меру нуль. Это подтверждается численными экспериментами.

Установлена количественная взаимосвязь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова. Доказано, что энтропия положительна в том и только в том случае, когда фазовая траектория в среднем экспоненциально неустойчива на аттракторе. Значит, спектр показателей Ляпунова такой траектории обязан содержать положительный показатель. Явное выражение, связывающее энтропию Колмогорова с положительными показателями Ляпунова, получено Песиным [10] и в типичных случаях выглядит достаточно просто:

(1.10)

т.е. энтропия равна сумме положительных показателей Ляпунова.

Также существует взаимосвязь показателей Ляпунова с размерностью. Сейчас многими принята гипотеза Каплана-Йорка, в соответствии с которой размерность аттрактора, называемая ляпуновской, выражается через спектр показателей Ляпунова следующим образом [32]:

(1.11)

Здесь предполагается, что показатели Ляпунова упорядочены по убыванию . Кроме того, утверждают, что ляпуновская размерность является верхней границей для информационной размерности:

(1.12)