Главная страница
Материалы докладов
Обсуждение докладов
Виртуальные доклады
|
|
Рассматриваются колебательные системы, которые описываются уравнениями Гамильтона. Для упрощения гамильтониана используются канонические преобразования. В гамильтоновой механике известны два вида канонических преобразований: первый строится с помощью производящих функций Гамильтона-Якоби,
второй – с помощью генератора Ли, как отображение на фазовом потоке гамильтоновой системы. Предлагается новый третий способ построения канонических преобразований в параметрической форме. Метод оказывается удобным для асимптотического вычисления отображений Пуанкаре гамильтоновой системы с периодическим во времени гамильтонианом и исследования этой системы: построение фазовой картины, определения периодических решений. Задача устойчивости периодического решения сводится к задаче минимума и максимума параметризованной функции Пуанкаре.
С помощью параметризованной функции можно решить задачу построения асимптотического разложения для инвариантной нормальной формы неавтономного гамильтониана. Соответствующий метод инвариантной нормализации автономных гамильтоновых систем был недавно разработан В.Ф. Журавлевым с помощью генератора Ли. Метод инвариантной нормализации позволяет найти асимптотику нормальной формы и замену переменных с помощью одной квадратуры и не зависит от того есть резонанс в системе или нет. Этим он существенно отличается от метода нормальной формы Биркгофа и по эффективности существенно превосходит его.
Методы иллюстрируются на решении следующих задач: исследования устойчивости сферического маятника с произвольной трехмерной вибрации точки подвеса и построение периодических решений, нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе собственных частот, определение инвариантных кривых последовательности точек отображения Пуанкаре, описание образования структур в дисперсных смесях твердых частиц в жидкости, описание перехода к хаосу в гидродинамических задачах и другие задачи.
Основные публикации по теме доклада
- Петров А.Г. Об усреднении гамильтоновых систем// МТТ, 2001, N 3. С. 19-32.
- Петров А.Г. Параметрический метод отображений Пуанкаре
в гидродинамических системах//ПММ, 2002. Т.~66. Вып.~6. С. 948-967.
- Петров А.Г. Асимптотический метод построения отображения
Пуанкаре при описании перехода к динамическому хаосу в гамильтоновых
системах//ДАН, 2002. Т. 382, N 1. С.~15-19.
- Петров А.Г. Модификация метода инвариантной нормализации
гамильтонианов с помощью параметризации канонических преобразований//
ДАН, 2002. Т. 386, N 4. Механика. С.~343-347.
- Петров А.Г. Метод отображений Пуанкаре в гидродинамических
системах. Динамический хаос в жидком слое между эксцентрично вращающимися
цилиндрами// ПМТФ. 2002, N 6. С.~3-21.
- Петров А.Г. Асимптотические методы решения уравнений уравнений
Гамильтона с помощью параметризации канонических преобразований//
Дифф. уравнения. 2004, Т. 40, N 5. С. 1-13.
- Зарипов М.Н., Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины//
Доклады АН. Т. 399, N 3, 2004г. C. 347-352.
- Петров А.Г. Об инвариантной нормализации неавтономных
гамильтоновых систем// ПММ, 2004. Т.~68. Вып. 3. C. 402-413.
Фотографии
|