3. Влияние аддитивного белого гауссова шума

3.1 Корреляционная размерность

Рассмотрим сигнал, который может быть точно восстановлен уже в n-мерном фазовом пространстве. Если мы восстановим такой сигнал в (n+1)-мерном пространстве, то корреляционная размерность будет связана с размерностью по формуле [40]:

(1.30)

где n ( размерность фазового пространства (размерность вложения),
- нормированное расстояние,
- максимальное расстояние между двумя точками на аттракторе,
- уровень шума (стандартное отклонение),
- интеграл ошибок.

Важное следствие этого аналитического результата состоит в том, что даже при корреляционная размерность заметно увеличивается с ростом размерности вложения, а именно, на 0.2 при переходе от n к n+1.

3.2 Корреляционная энтропия

Диапазон расстояний, на котором происходит увеличение корреляционной размерности, соответствует диапазону, где имеет место переоценка корреляционной энтропии. Более точно, для аддитивного гауссова шума [40]:

(1.31)

В частности, для расстояний, меньших уровня шума, оценка энтропии составляет и расходится при . Таким образом, снова дисперсия шума должна быть существенно меньше общего размера аттрактора, так чтобы оставалось окно расстояний , где K₂(n) становится независимым от и, следовательно, представляет правильное значение. Заметим, что шум не разрушает скейлинговые свойства корреляционного интеграла по n, но приводит к переоценке K₂.

3.3 Наибольший показатель Ляпунова

Прямое вычисление наибольшего показателя Ляпунова по методу Вольфа основано на слежении за экспоненциально расходящимися соседними траекториями. Однако в присутствие шума детерминированная расходимость на малых масштабах скрыта шумом. Расстояние между траекториями изменяется подобно случайному блужданию. В результате временная зависимость расстояния r между первоначально близкими траекториями задается формулой [40]:

(1.32)

Следовательно, для малых k находят , который существенно больше истинного. Чистое экспоненциальное разбегание возможно только для траекторий, начальное разделение которых больше уровня шума. Однако, как только расстояния становятся порядка размера аттрактора, дальнейшего увеличения расстояний по экспоненциальному закону не происходит. Начинает играть большую роль насыщение и складчатые процессы, так что максимальное расстояние должно быть порядка 1/5 (в случае нормированных данных). Если оптимистично предположить, что шум не играет роли на масштабах порядка 2 и потребовать как минимум k шагов по времени между последовательными заменами соседа в алгоритме Вольфа, то допустимый уровень шума удовлетворяет соотношению:

(1.33)

Например, для получения хорошей оценки наибольшего показателя Ляпунова аттрактора Хенона [30] потребуем k>5 (=1). Истинное значение =0.4169. Отсюда , т.е. меньше, чем 1.2%.