Прохоренко В.И. Цикл из 2 работ «О применении качественных методов теории возмущений при исследовании особенностей эволюции орбит ИСЗ и разработке практических рекомендаций для выбора и коррекции орбит, исходя из задач проектов и с учётом времени баллистического существования»

1. Прохоренко В.И. Об особенностях долговременной эволюции высокоапогейной орбиты космического аппарата Спектр-Р // Космич. исслед. 2014. Т. 52. N 2. С. 132 – 152.

2. Прохоренко В.И. Проблема выбора высокоапогейных орбит искусственных спутников Земли c учетом времени баллистического существования // Космонавтика и ракетостроение. ЦНИИМАШ. 2014 . Т. 74. N 1. С. 30 – 41.

Aннотация

Цикл работ посвящен опыту применения качественных методов теории возмущений при исследовании особенностей эволюции высокоапогейных орбит ИСЗ и содержит практические рекомендации для выбора и коррекции орбит, исходя из задач проектов и с учётом времени баллистического существования

Исследования особенностей эволюции высокоапогейной орбиты КА Спектр-Р, стартовавшей в 2011 году, послужили очередным поводом для того чтобы привлечь внимание к качественным методам теории возмущений, которые позволяют наглядно продемонстрировать роль и место двух составляющих эволюционного процесса: вековой и долгопериодической.

Вековую составляющую в первом приближении описывает возмущающая функция спутникового варианта ограниченной задачи трёх тел с учетом нецентральности гравитационного поля Земли, двукратно осредненная по периоду орбиты спутника и периоду орбитального движения возмущающего тела. Долгопериодическую составляющую описывает та же возмущающая функция, однократно осредненная по периоду орбиты спутника. Исследования этих составляющих основаны на использовании интегрируемых уравнений спутникового варианта осредненной ограниченной задачи трех тел, полученных более 50 лет в работах М.Л. Лидова и его учеников.

В вопросе о времени существования орбиты спутника решающую роль играет вековая составляющая. Характер эволюции этой составляющей фактически определяется начальными значениями следующих орбитальных элементов: большой полуоси a₀, эксцентриситета e₀ и трёх угловых элементов (наклонения, аргумента перигея и прямого восхождения восходящего узла), определяющих положение орбиты в геоцентрической экваториальной невращающейся системе координат, ось X которой направлена в точку весеннего равноденствия. Нужно отметить существенную роль прямого восхождения восходящего узла, от которого при фиксированном наклонении орбиты к плоскости экватора зависят, значения измеряемых относительно плоскости эклиптики угловых элементов i₀ и w₀, определяющих характер вековой составляющей эволюции орбиты.

Время баллистического существования орбиты в первую очередь зависит от вековой эволюции высоты перигея, которая в общем случае имеет квазипериодический характер. Период вековой составляющей эволюции высоты перигея зависит от начальных значений упомянутых орбитальных элементов, а также от динамических характеристик центрального тела (Земли) и системы возмущающих тел (Луны и Солнца).

Как показывает опыт, связанный с орбитой КА Спектр-Р с начальным значением наклонения i₀ к плоскости эклиптики, составляющим ~30°, вековая эволюция орбиты под влиянием внешних гравитационных возмущений может приводить к пересечению орбиты с поверхностью планеты, при начальных значениях наклонения к плоскости орбиты возмущающего тела отнюдь не близких к 90°.

Предпосылкой для пересечения является близость к нулю значения интегральной константы c₁ = (1 - e₀²) cos² i₀. Заметим, что при i₀ = 90° значение c₁ равно нулю при любых значениях эксцентриситета e₀. Критерий пересечения орбиты с поверхностью планеты радиуса R определяется неравенством h_pmin(a₀,c₁,c₂) < 0 < h_p0 = a₀(1 - e₀) - R, а критерий непересечения – неравенством 0 < h_pmin(a₀,c₁,c₂) £ h_p0, в котором знак равенства соответствует значениям аргумента перигея w₀, равным 270° или 90°.

Переходя к практическим рекомендациям, касающимся выбора начальных орбитальных элементов с учетом вековой составляющей эволюции, отметим, что приведенные в настоящем цикле работ рекомендации относятся к высоко апогейным орбитам ИСЗ с величиной большой полуоси, принадлежащей диапазону от 100000 км до 190000 км.

При разработке этих рекомендаций использованы следствия из теорем о многообразиях начальных условий, приводящих (или не приводящих) к пересечению орбит с поверхностью планеты конечного радиуса в спутниковом варианте двукратно осредненной задачи Хилла, доказанных в более ранних работах автора 2007 и 2011 года.

Исходя из этого для области значений большой полуоси, принадлежащих указанному выше диапазону, были получены границы, разделяющие диапазон возможных значений наклонения орбиты спутника к плоскости эклиптики (0, 90°) на три части. Верхняя граница выделяет область значений наклонения, прилегающую к значению 90°, при которых вековая эволюция приводит к пересечению орбиты спутника с поверхностью Земли при любых начальных значениях эксцентриситета и аргумента перигея w₀, измеренного относительно линии узлов на плоскости эклиптики. Нижняя граница, с учётом заданного начального значения эксцентриситета, выделяет область значений наклонения (прилегающую к нулевому значению), при которых вековая эволюция не приводит к пересечению орбиты с поверхностью Земли при любых возможных значениях аргумента перигея w₀. При значениях наклонения, лежащих между указанными границами, пересечение (или не пересечение) орбиты с поверхностью Земли зависит от начального значения аргумента перигея w₀. Для этого случая получены границы, разделяющие значения аргумента перигея w₀, приводящие (и не приводящие) к пересечению орбиты с поверхностью Земли. Области значений w₀, не приводящих к пересечению, центрируются значениями w₀, равными 270° и 90°.

Долгопериодические составляющие эволюции перигейного расстояния зависят от времени, связаны с полупериодом орбитального движения каждого из возмущающих тел и приводят к колебаниям приращения высоты перигея за виток. Амплитуда этих колебаний зависит от значения большой полуоси орбиты спутника, текущего значения эксцентриситета, а также от динамических характеристик центрального и возмущающего тела. Долгопериодические составляющие могут оказывать влияние на события лишь при малых значениях высоты перигея над поверхностью Земли: на этапе запуска спутника на орбиту или в «критический момент», находящийся вблизи точки минимума вековой составляющей эволюции высоты перигея. В зависимости от фазы, долгопериодические составляющие могут спасти (или погубить) спутник от соударения с Землёй. «Сдвиг фазы» можно осуществить при помощи выбора даты старта, а также при помощи превентивной коррекции большой полуоси орбиты, которая (коррекция) «запускает механизм сдвига» спутника вдоль орбиты, приводящий к нужному изменению упомянутой фазы, что и подтверждается опытом, связанным с коррекцией орбиты Спектр-Р.

Заметим, что для орбит с небольшими наклонениями к плоскости эклиптики опасность соударения, связанную с долгопериодической составляющей, можно преодолеть, за счет выбора начального значения высоты перигея, с учетом амплитуды долгопериодической составляющей, обусловленной влиянием Луны, которая (амплитуда) в 2.18 раза, при прочих равных условиях, превышает амплитуду, обусловленную влиянием Солнца.

Предлагается алгоритм решения этой задачи для любого значения большой полуоси орбиты, путем выбора начального значения эксцентриситета, исходя из наперед заданного «запаса высоты перигея», определяемого, как разность между начальным значением высоты перигея и соответствующей ему амплитудой долгопериодических колебаний.

Для того чтобы обеспечить возможность запуска орбит ИСЗ с учетом предлагаемых рекомендаций потребуется пересмотр сложившегося стереотипа запуска спутников, который основан на учете только долгопериодической составляющей эволюции и практически не допускает свободы выбора начального значения прямого восхождения восходящего узла, определяющего характер вековой составляющей эволюции орбиты.

В заключение, следует подчеркнуть, что автор считает своей целью популяризацию качественных методов теории возмущений, усматривая их главное достоинство в том, что они помогают разобраться в сути рассматриваемого явления. При этом, отдавая должное качественным методам теории возмущений, нужно иметь в виду приближенный характер этих методов и быть готовым к необходимости оценки адекватности получаемых результатов с помощью прецизионных методов численного интегрирования уравнений движения с учетом всех возмущающих факторов.

Основные результаты докладывались на следующих научных форумах:

1. Координационный совет по Небесной механике ГАИШ МГУ декабрь 2013

2. Выездное заседание семинара по механике, управлению и информатике ИКИ РАН, к 100-летию П.Е. Эльясберга. Таруса, 17-19 июня 2014.

3. Международная конференция DIFF2014 «Дифференциальные уравнения и динамические системы». Суздаль, 4 - 9 июля 2014.

40-я Научная Ассамблея COSPAR. Москва. МГУ, 2 - 10 августа