Цикл работ

«Исследование устойчивых периодических траекторий и островов устойчивости в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями»

А.И.Нейштадт, А.А.Васильев, отд. 51

Направление: Фундаментальные и прикладные научные исследования в области физики космической плазмы, энергичных частиц, Солнца и солнечно- земных связей

Цикл состоит из трех работ [1,2,3]. В работах цикла исследуется динамика в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями. Отношение характерных скоростей изменения медленных и быстрых переменных является малым параметром задачи ε. В численных экспериментах эта область выглядит как область хаотической динамики. Ранее считалось, что острова устойчивости в этой области, если они существуют, исчезают при стремлении малого параметра к нулю. Основным результатом работ цикла является доказательство (при выполнении дополнительных условий симметрии) существования в рассматриваемой области большого, порядка 1/ε, числа устойчивых периодических траекторий (см. [1]). Каждая из таких траекторий окружена областью (островом) устойчивости, имеющей меру порядка ε. Таким образом, суммарная мера этих островов устойчивости не стремится к нулю при ε, стремящемся к нулю. В работе [2] рассмотрен более конкретный и часто встречающийся в приложениях случай т.н. натуральной системы, гамильтониан которой представим в виде суммы кинетической и потенциальной энергии. Получены асимптотические выражения для числа и расположения устойчивых периодических траекторий. Результаты использованы для описания устойчивых периодических и квазипериодических траекторий заряженных частиц в параболической модели хвоста магнитосферы Земли. Проведено обширное численное исследование, результаты которого подтверждают теорию. В работе [3] доказано, что при отсутствии дополнительных условий симметрии система по-прежнему имеет порядка 1/ε периодических решений на каждом уровне энергии. Однако все они, за исключением, быть может, траекторий, проходящих аномально близко к седловой точке или к краю области переходов через сепаратрису, неустойчивы. В этой ситуации острова устойчивости отсутствуют.

1. А.А.Васильев, А.И.Нейштадт, К.Симо, Д.В.Трещев, Острова устойчивости в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями, принято к публикации в Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН, т. 259, 2007.

2. А. I.  Neishtadt, C. Simó,  D. V. Treschev, and А. A. Vasiliev, Periodic orbits and stability islands in chaotic seas created by separatrix crossings in slow-fast systems, accepted for publication in Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, 2007.

3. А. I.  Neishtadt,   А. A. Vasiliev, On the absence of stable periodic orbits in domains of separatrix crossings in non-symmetric slow-fast Hamiltonian systems, to appear in Chaos 17, 2007.